Question

证明

2

是无理数，你能说明

π

3

是无理数吗？

Answer 1

考点：实数

专题：

分析：假设

2

不是无理数，所以

2

必为有理数，设

2

=

p

q

（p、q是互质的自然数），两边平方可得到p²=2q²，再根据p、q均为偶数和p与q互质矛盾即可得出结论．假设

π

3

是有理数，设

π

3

=x，则x为有理数，且π=3x．根据“有理数的积仍为有理数”可证到π是有理数，与“π是无理数”矛盾，从而得到

π

3

是无理数．

解答：证明：假设

2

不是无理数，所以

2

必为有理数，
设

2

=

p

q

（p、q是互质的自然数），
两边平方有，p²=2q²，①，
所以p一定是偶数．
设p=2m（m是自然数），
代入①得4m²=2q²，q²=2m²，
所以q也是偶数，
p、q均为偶数和p与q互质矛盾，
所以

2

不是有理数，所以

2

是无理数；
假设

π

3

是有理数，
设

π

3

=x，则x为有理数，且π=3x．
∵x和3都为有理数，
∴根据“有理数的积仍为有理数”可得：
3x是有理数，即π是有理数，
与“π是无理数”矛盾，
所以假设不成立，
故

π

3

是无理数．

点评：本题考查的是有理数与无理数的概念，解答此类题目时要注意反证法的使用．