Question

3．如图，直线OA：y=$\frac{1}{2}$x的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小．

Answer 1

分析 （1）设点A的坐标为（a，b），由点A在反比例函数图象上结合三角形△OAM的面积为1，可得出关于k、a、b的三元一次方程组，解方程即可求出k值，从而得出反比例函数解析式；
（2）联立直线与反比例函数解析式求出点A的坐标，找出点A关于x轴的对称点C的坐标，再结合反比例函数解析式求出点B坐标，连接BC即可找出点P的位置，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，令y=0求出x值即可得出点P的坐标．

解答 解：（1）设点A的坐标为（a，b），
则$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{k}{a}}\\{\frac{1}{2}ab=1}\end{array}\right.$，解得：k=2．
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{2}{x}$．
（2）联立直线OA和反比例函数解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$．
∴点A的坐标为（2，1）．
设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2，-1），连接BC较x轴于点P，点P即为所求．如图所示．

设直线BC的解析式为y=mx+n，
由题意可得：B点的坐标为（1，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=m+n}\\{-1=2m+n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=5}\end{array}\right.$．
∴BC的解析式为y=-3x+5．
当y=0时，0=-3x+5，解得：x=$\frac{5}{3}$．
∴P点的坐标为（$\frac{5}{3}$，0）．

点评 本题考查了直线与反比例函数图象的交点问题、轴对称中的最短线路问题、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及解多元一次方程组，解题的关键是：（1）得出关于k、a、b的三元一次方程组；（2）确定点P的位置．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式是关键．