Question

7．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC、BD，若AB=AC且∠ABD=60°．求证：AB=BD+CD．

Answer 1

分析 作AM⊥CD于M，AN⊥BD于N，由∠1=∠2可以推出△ABN≌△ACM以及△ADN≌△ADM，得到BD+CD=2BN，在RT△ABN中利用30度性质即可解决．

解答 证明：如图作AM⊥CD于M，AN⊥BD于N．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠3，
∵∠2=∠3，∠1=∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵AM⊥CD，AN⊥DB，
∴AM=AN，
在RT△ABN和RT△ACM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AN=AM}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△ACM，
∴BN=CM，
在RT△ADN和RT△ADM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{AN=AM}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△ADM，
∴DN=DM，
∴BD+CD=BN+ND+CD=BN+CM=2BN，
在RT△ABN，∵∠ANB=90°，∠ABN=60°，
∴∠BAN=30°，
∴AB=2BN，
∴AB=BD+CD．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，解题的关键的由角平分线的性质定理添加辅助线，构造了两对全等三角形，本题有点难度．