Question

13．已知，如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，菱形ABCD的面积为50$\sqrt{3}$，点E、F分别在AB、AD上，且BE=AF=2，则△ECF的周长为6$\sqrt{21}$．

Answer 1

分析 作CH⊥AB于H，如图，根据菱形的性质得AB=BC=AD=CD，加上∠B=60°，则可判断△ABC、△ADC都为等边三角形，所以∠BCA=60°，∠DAC=60°，AC=BC，于是可证明△BCE≌△ACF，得到CE=CF，∠BCE=∠ACF，再证明△ECF为等边三角形，设BH=x，在Rt△BCH中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC=2x，CH=$\sqrt{3}$x，于是根据菱形的面积公式得到2x•$\sqrt{3}$x=50$\sqrt{3}$，解得x=5，则CH=5$\sqrt{3}$，HE=BH-BE=3，然后在Rt△CHE中，利用勾股定理计算出CE=2$\sqrt{21}$，则可得△ECF的周长为6$\sqrt{21}$．

解答 解：作CH⊥AB于H，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=AD=CD，
而∠B=60°，
∴△ABC、△ADC都为等边三角形，
∴∠BCA=60°，∠DAC=60°，AC=BC，
在△BCE和△ACF中
$\left\{\begin{array}{l}{BE=AF}\\{∠B=∠FAC}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACF，
∴CE=CF，∠BCE=∠ACF，
而∠BCE+∠ACE=60°，
∴∠ACF+∠ACE=60°，即∠ECF=60°，
∴△ECF为等边三角形，
设BH=x，
在Rt△BCH中，BC=2x，CH=$\sqrt{3}$x，
∴2x•$\sqrt{3}$x=50$\sqrt{3}$，解得x=5，
∴CH=5$\sqrt{3}$，HE=BH-BE=5-2=3，
在Rt△CHE中，CE=$\sqrt{C{H}^{2}+H{E}^{2}}$=$\sqrt{（5\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}}$=2$\sqrt{21}$，
∴△ECF的周长=3×2$\sqrt{21}$=6$\sqrt{21}$．
故答案为6$\sqrt{21}$．

点评 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质．