Question

已知△ABC，AB=AC=5，BC=8，若⊙O只与△ABC的两边相切，且切点均在边上，则⊙O的半径r的取值范围是________．

Answer 1

0＜r≤，r≠
分析：过A点作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得到BD=DC=4，AD平分∠BAC，利用勾股定理得AD=3；若⊙O只与△ABC的AB、AC两边相切，则圆心O在AD上，当切点分别为点B和点C时，⊙O的半径r最大，连OB、OC，易证Rt△ABD∽Rt△AOB，利用相似比可求出OD=，在Rt△OBD中利用勾股定理可计算出OB=，而当圆心在O′时，与三边都相切，设与AB的切点为E，连O′E，易证Rt△AEO′∽Rt△ADB，利用相似比可求出OD=；若⊙O只与△ABC的BA、BC两边相切，当A为切点时，⊙O的半径r最大，最大半径小于AD=3，由此得到⊙O的半径r的取值范围是0＜r≤，且r≠．
解答：解：过A点作AD⊥BC于D，如图，
∵AB=AC=5，BC=8，
∴BD=DC=4，AD平分∠BAC，
∴AD==3；
若⊙O只与△ABC的AB、AC两边相切，则圆心O在AD上
当切点分别为点B和点C时，⊙O的半径r最大，
连OB、OC，如图，
∴OB⊥AB，
∴Rt△ABD∽Rt△AOB，
∴AB：AO=AD：AB，即5：（OD+3）=3：5，
∴OD=，
在Rt△OBD中，
OB===，
而当圆心在O′时，与三边都相切，设与AB的切点为E，连O′E，如图，
则O′E⊥AB，O′E=O′D，
∴Rt△AEO′∽Rt△ADB，
∴O′E：BD=AO′：AB，即O′E：4=（3-O′E）：5，
∴O′E=，
∴⊙O的半径r的取值范围是0＜r≤，且r≠；
若⊙O只与△ABC的BA、BC两边相切，
当A为切点时，⊙O的半径r最大，最大半径小于AD=3，
所以⊙O的半径r的取值范围是0＜r≤，且r≠．
故答案为0＜r≤，且r≠．
点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形相似的判定与性质．