题目内容

如图，已知反比例函数 $数学公式$ 和一次函数y₂=ax+1的图象相交于第一象限内的点A，且点A的横坐标为1．过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）若一次函数的图象与x轴相交于点C，求线段AC的长度．
（3）直接写出：当y₁＞y₂＞0时，x的取值范围．
（4）在y轴上是否存在一点P，使△PAO为等腰三角形？若存在，请直接写出p点坐标；若不存在，请说明理由．（要求至少写两个）

解：（1）∵S_△AOB=1，
∴ $\text{[math]}$ |k|=1，
∵ $\text{[math]}$ 经过第一象限，
∴k=2，
∴ $\text{[math]}$ ，
当x=1时代入 $\text{[math]}$ 得：y=2，
∴点A坐标为：（1，2），
∵A（1，2）在y₂=ax+1图象上，
∴2=a+1，
解得：a=1，
∴y₂=x+1．

（2）当y₂=0时代入y₂=x+1得：x=-1，
∴C（-1，0），
在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=2，BC=2，
∴AC= $\text{[math]}$ ．

（3）由图可知：当0＜x＜1时，y₁＞y₂＞0；

（4）①若OP=OA，可得点P的坐标为（0， $\text{[math]}$ ）或（0，- $\text{[math]}$ ）；
②若AP=AO，可得点P的坐标为（0，4）．
综上可得：点P的坐标为（0， $\text{[math]}$ ）或（0，- $\text{[math]}$ ）或（0，4）．
分析：（1）根据反比例函数的k的几何意义，可得出k的值，继而得出反比例函数关系式，将点A的横坐标代入，求出点A的纵坐标，再将点A的坐标代入一次函数解析式可得出a的值，继而得出一次函数解析式；
（2）先求出点C的坐标，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长度．
（3）结合函数图象，即可得出当y₁＞y₂＞0时，x的取值范围；
（4）本题的答案有很多种，同学们可以选简单的几种得出结果．
点评：本题考查了反比例函数的综合题，涉及了待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式、反比例函数k的几何意义及等腰三角形的判定，综合考察的知识点较多，解答累死的综合性题目，需要同学们有扎实的基本功，注意数形结合思想的运用．