Question

如图，已知反比例函数y1=

k

x

和一次函数y₂=ax+b的图象相交于点A和点D，且点A的横坐标为1，点D的纵坐标为-1．过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）若一次函数y₂=ax+b的图象与x轴相交于点C，求∠ACO的度数．
（3）结合图象直接写出：当y₁＞y₂时，x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由△AOB的面积为1，点A的横坐标为1，求点A的纵坐标，确定反比例函数解析式，利用反比例函数解析式求D点坐标，利用“两点法”求一次函数解析式；
（2）由一次函数解析式求C点坐标，再求AB、BC，在Rt△ABC中，求tan∠ACO的值，再求∠ACO的度数；
（3）当y₁＞y₂时，y₁的图象在y₂的上面，由此求出x的取值范围．

解答：解（1）∵S_△AOB=1，∴

1

2

OA•OB=1，
又∵OB=1，∴AB=2，即A（1，2），
把A点坐标代入y₁=

k

x

中，得k=2，∴y=

2

x

，
把y=-1代入y=

2

x

中，得x=-2，∴D（-2，-1），
设直线AD解析式为y=ax+b，
将A、D两点坐标代入，得

a+b=2 -2a+b=-1

，
解得

a=1 b=1

，
∴y=x+1；

（2）由直线y=x+1可知，C（-1，0），
则BC=OB+OC=2，AB=2，
所以，在Rt△ABC中，tan∠ACO=

AB

BC

=1，
故∠ACO=45°；

（3）由图象可知，当y₁＞y₂时，x＜-2或0＜x＜1．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．关键是由已知条件求交点坐标，根据交点坐标求反比例函数、一次函数的解析式，利用解析式，形数结合解答题目的问题．