Question

1．如图，在?ABEF中，AB=2，AF＜AB．现将线段EF在直线EF上移动，在移动过程中，设线段EF的对应线段为CD，连接AD、BC．
（1）在上述移动过程中，对于四边形ABCD的说法不正确的是B
A．面积保持不变       B．只有一个时刻为菱形
C．只有一个时刻为矩形  D．周长改变
（2）在上述移动过程中，如图2，若将△ABD沿着BD折叠得到△A′BD（点A′与点C不重合），A′B交CD于点D．
①试问A′C与BD平行吗？请说明理由；
②若以A′、D、B、C为顶点的四边形是矩形，且对角线的夹角为60°，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）根据平移的性质进行判断即可；
（2）①根据对折的性质得出对应边和角相等，再根据平行线的判定解答即可；
②根据矩形的性质和等边三角形的性质进行分析解答．

解答 解：（1）因为平移，AB保持不变，且AB与CD间的距离不变，所以四边形ABCD的面积不变，故A正确；
当AD⊥CD时，四边形ABCD可以是矩形，故C正确；
因为AD的长度有变化，所以四边形ABCD的周长改变，故D正确；
故选B．
（2）①A'C∥BD．理由如下：
如图2，

由?ABEF可得，AB=CD，AB∥CD，
又根据对折可知AB=A'B，∠3=∠2，
∴A'B=CD，∠1=∠3，
∴OD=OB．
∴OA'=OC，
∴∠4=∠5．
∵∠BOD=∠A'OC，
∴∠4+∠5=∠1+∠3，
即∠1=∠4，
∴A'C∥BD．
②如图3，

由①知CD=AB=2，∠1=∠2，∠A=∠3．
当四边形A'DBC矩形时，有∠DBC=90°，OA'=OD=OB=OC=1．
当∠A'OD=60°，则∠DOB=120°，
∴∠1=30°．
∴∠2=30°，∠A=∠3=60°．
∴∠ADB=90°．
∴在Rt△ADB中，$AD=\frac{1}{2}AB=1$．
当∠DOB=60°（如图4），

则△ODB为正三角形，
∴∠2=∠1=60°，∠A=∠3=30°，BD=OD=1．
∴∠ADB=90°．
∴在Rt△ADB中，$tan∠2=\frac{AD}{BD}$，
∴$AD=BD•tan∠2=1•tan60°=\sqrt{3}$．
综上可得，AD的长为1或$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了几何变换，解题的关键是根据平移和对折的性质分析，同时注意矩形和等边三角形的有关知识．