Question

16．已知二次函数y=-x²+2x+m．
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）二次函数的图象与x轴有两个交点，则△＞0，从而可求得m的取值范围；
（2）由点B、点A的坐标求得直线AB的解析式，然后求得抛物线的对称轴方程为x=1，然后将x=1代入直线的解析式，从而可求得点P的坐标；
（3）一次函数值大于二次函数值即直线位于抛物线的上方部分x的取值范围．

解答 解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴△=2²+4m＞0
∴m＞-1；
（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），
∴0=-9+6+m
∴m=3，
∴二次函数的解析式为：y=-x²+2x+3，
令x=0，则y=3，
∴B（0，3），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=-x+3，
∵抛物线y=-x²+2x+3，的对称轴为：x=1，
∴把x=1代入y=-x+3得y=2，
∴P（1，2）．
（3）根据函数图象可知：x＜0或x＞3．

点评 本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．