Question

20．（1）如图（1），点P是正方形ABCD的边CD上一点（点P与点C，D不重合），点E在BC的延长线上，且CE=CP，连接BP，DE．求证：BP=DE且BP⊥DE；
（2）直线EP交AD于F，连接BF，FC．点G是FC与BP的交点．
①若BC=2CE时，求证：BP⊥CF；
②若BC=n•CE（n是大于1的实数）时，记△BPF的面积为S₁，△DPE的面积为S₂．求证：S₁=（n+1）S₂．

Answer 1

分析 （1）延长BP交DE于M，证明△BCP≌△DCE，根据全等三角形的性质证明即可；
（2）①根据等腰直角三角形的性质、正方形的性质证明△BCP≌△CDF，根据全等三角形的性质证明即可；
②设CE=CP=1，根据题意用n表示出BC、DP，根据梯形、三角形的面积公式计算即可．

解答 （1）证明：延长BP交DE于M，
在△BCP和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCP=∠DCE=90°}\\{CP=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△DCE，
∴BP=DE，∠CBP=∠CDE，
∵∠CDE+∠E=90°，
∴∠CBP+∠E=90°，即BP⊥DE；
（2）①证明：∵CP=CE，∠PCE=90°，
∴∠CPE=45°，
∴∠FPD=∠CPE=45°，
∴∠PFD=45°，
∴FD=PD，
∵BC=2CE，
∴CD=2CE=2PC，即DP=CP，
∴DF=CP，
在△BCP和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCP=∠CDF}\\{CP=DF}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△CDF，
∴∠FCD=∠CBP，
∵∠CBP+∠BPC=90°，
∴∠FCD+∠BPC=90°，即BP⊥CF；
②证明：设CE=CP=1，则BC=CD=n，DP=CD-CP=n-1，
∴FD=DP=n-1，
S₁=S_梯形BCDF-S_△BCP-S_△FDP
=$\frac{1}{2}$×（BC+DF）×CD-$\frac{1}{2}×$BC×CP-$\frac{1}{2}×$DF×FP
=$\frac{1}{2}×$（n+n-1）×n-$\frac{1}{2}×$n×1-$\frac{1}{2}×$（n-1）²
=$\frac{1}{2}$（n²-1）
=$\frac{1}{2}$（n+1）（n-1），
S₂=$\frac{1}{2}×$DP×CE=$\frac{1}{2}$（n-1）×1=$\frac{1}{2}$（n-1），
∴S₁=（n+1）S₂．

点评 本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．