Question

18．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把P’（y-1，-x-1）叫做点P的友好点，已知点A₁的友好点为A₂，点A₂的友好点为A₃，点A₃的友好点为A₄，…，这样依次得到点．
（1）当点A₁的坐标为（2，1），则点A₃的坐标为（-4，-1），点A₂₀₁₆的坐标为（-2，3）；
（2）若A₂₀₁₆的坐标为（-3，2），则设A₁（x，y），求x+y的值；
（3）设点A₁的坐标为（a，b ），若A₁，A₂，A₃，…A_n，点A_n均在y轴左侧，求a、b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）列出部分A_n点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论；
（2）根据（1）结论和A₂₀₁₆的坐标为（-3，2），找出A₂₀₁₇的坐标，由此即可得出x、y的值，二者相加即可得出结论；
（3）结合（1）的结论找出A₁，A₂，A₃，A₄的坐标，令其横坐标均小于0，即可得出关于a和关于b的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．

解答 解：（1）观察，发现规律：A₁（2，1），A₂（0，-3），A₃（-4，-1），A₄（-2，3），A₅（2，1），…，
∴A_4n+1（2，1），A_4n+2（0，-3），A_4n+3（-4，-1），A_4n+4（-2，3）（n为自然数）．
∵2016=504×4，
∴点A₂₀₁₆的坐标为（-2，3）．
故答案为：（-4，-1）；（-2，3）．
（2）∵A₂₀₁₆的坐标为（-3，2），
∴A₂₀₁₇（1，2），A₁（1，2），
∴x+y=3．
（3）∵A₁（a，b），A₂（b-1，-a-1），A₃（-a-2，-b），A₄（-b-1，a+1），
∵A₁，A₂，A₃，…A_n，点A_n均在y轴左侧，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{-a-2＜0}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{b-1＜0}\\{-b-1＜0}\end{array}\right.$，
解得：-2＜a＜0，-1＜b＜1．

点评 本题考查了规律型中的点的坐标的变化，解题的关键是：（1）找出变化规律；（2）求出x、y值；（3）分别找出关于a、b的一元一次不等式组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据友好点的定义列出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键．