Question

19．已知关于x的一元二次方程ax²-（4a+1）x+（4a-1）=0有两个实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）当a在允许的取值范围内取最小的整数时，请用配方法解此方程．

Answer 1

分析 （1）由方程有两个实数根以及该方程为一元二次方程，结合根的判别式即可得出关于a的不等式组，解不等式组即可得出a的取值范围；
（2）根据（1）的结论找出a的值，将其代入原方程中，再利用配方法解该方程即可．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程ax²-（4a+1）x+（4a-1）=0有两个实数根；
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=0}\\{a≠0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{[-（4a+1）]^{2}-4a（4a-1）≥0}\\{a≠0}\end{array}\right.$，
解得：a≥-$\frac{1}{12}$且a≠0．
∴a的取值范围为a≥-$\frac{1}{12}$且a≠0．
（2）∵a≥-$\frac{1}{12}$且a≠0，
∴a的最小的整数为a=1，
∴原方程为x²-5x+3=0，即$（x-\frac{5}{2}）^{2}$=$\frac{13}{4}$，
∴x-$\frac{5}{2}$=±$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴x₁=$\frac{5+\sqrt{13}}{2}$，x₂=$\frac{5-\sqrt{13}}{2}$．

点评 本题考查了根的判别式以及配方法解一元二次方程，解题的关键是：（1）找出关于a的不等式组；（2）确定a的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的情况结合根的判别式以及一元二次方程的定义，得出不等式组是关键．