Question

2．如图所示，两个村庄A，B在河CD的两侧，A，B两侧到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米，现要在河边CD上建造一水厂，向A，B两村送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出最省的铺设水管的费用W．

Answer 1

分析 由于铺设水管的工程费用为每千米20000元，是一个定值，现在要在CD上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省，意思是在CD上找一点P，使AP与BP的和最小，设M是A的对称点，使AP+BP最短就是使MP+BP最短．

解答 解：如图所示：延长AC到点M，使CM=AC；连接BM交CD于点P，
点P就是所选择的位置．
在直角三角形BMN中，
BN=3+1=4，MN=3，
∴MB=$\sqrt{M{N}^{2}+B{N}^{2}}$=5（千米），
∴最短路线AP+BP=MB=5，
最省的铺设管道的费用为W=5×20000=100000（元）．
答：最省的铺设管道的费用是10万元．

点评 此题主要考查了最短路径问题，解这类问题的关键是将实际问题抽象或转化为几何模型，把两条线段的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．