Question

如图1，抛物线y=ax²＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中B点的坐标为（3,0）.

（1）求抛物线的解析式.

（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，直线PQ为抛物线的对称轴.①说明点D与点E关于直线PQ对称.

②若点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）如图3，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

解：（1）设所求抛物线的解析式为：y＝a(x－1)²＋4，

依题意，将点B（3，0）代入，得：

a(3－1)²＋4＝0

解得：a＝－1

∴所求抛物线的解析式为：

（2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，

在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，

则HF＝HI…………①

设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0），

∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入

抛物线y＝－(x－1)²＋4，得y＝－(2－1)²＋4＝3

∴点E坐标为（2，3）

又∵抛物线y＝－(x－1)²＋4图像分别与x轴、y轴

交于点A、B、D

∴当y＝0时，－(x－1)²＋4＝0，∴ x=－1或x＝3

当x＝0时，y＝－1＋4＝3,

∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3）

又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1，

∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE…………………②  

分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得：

     解得：

过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1

∴当x＝0时，y＝1

∴点F坐标为（0，1）

∴………………………………………③

又∵点F与点I关于x轴对称，

∴点I坐标为（0，－1）

∴………④

又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，

∴只要使DG＋GH＋HI最小即可

由图形的对称性和①、②、③，可知，

DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI

只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小

设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：y＝k₁x＋b₁（k₁≠0），

分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入y＝k₁x＋b₁，得：     解得：

过A、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1

∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝；

∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）

∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI

由③和④，可知：DF＋EI＝

∴四边形DFHG的周长最小为。

（3）如图7，由题意可知，∠NMD＝∠MDB，

要使，△DNM∽△BMD，只要使即可，

即：MD²＝NM×BD………………………………⑤

设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得△AMN∽△ABD，

∴

再由（1）、（2）可知，AM＝1＋a，BD＝，AB＝4

∴

∵MD²＝OD²＋OM²＝a²＋9，

∴⑤式可写成： a²＋9＝×

解得：  a＝或a＝3（不合题意，舍去）

∴点M的坐标为（，0）

又∵点T在抛物线y＝－(x－1)²＋4图像上，

∴当x＝时，y＝

∴点T的坐标为（，）