题目内容
如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，且A（4，0），B（0，3）．动点P，Q同时从点O出发，点P沿着折线O→B→A匀速运动，点Q沿线段OA匀速运动，两点同时到达点A时，运动停止，已知点Q的运动速度为每秒1个单位长度．（1）求点P的运动速度；
（2）设点P的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在运动过程中，用纸片做一个与△OPQ全等的△O′P′Q′，求△OPQ与△O′P′Q′拼成矩形时，t的取值范围；
（4）直接写出（3）中拼成的矩形面积最大时t的值．
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）根据勾股定理，可得AB的长，根据时间相等，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案；
（2）分类讨论：0＜t≤
时，直接根据三角形的面积公式，可得答案；当
＜t＜4时，先根据相似三角形的性质，可得pp，的长，再根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）分类讨论：点P在OB上，根据P点的速度与OB的长度，可得t的范围；点P在AB上，且∠OPQ=90°，根据勾股定理，可得t的值；
（4）根据矩形的边OP最大时，矩形的面积最大，可得答案．
（2）分类讨论：0＜t≤
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
（3）分类讨论：点P在OB上，根据P点的速度与OB的长度，可得t的范围；点P在AB上，且∠OPQ=90°，根据勾股定理，可得t的值；
（4）根据矩形的边OP最大时，矩形的面积最大，可得答案．
解答：解：（1）设点P的运动速度为每秒x个单位长度，由题意，得OA=4，OB=3，AB=5，
=
，
解得x=2，
∴点P的运动速度为每秒2个单位长度；
（2）当0＜t≤
时，S=
OQ•OP=
•t•2t=t2；
当
＜t＜4时，设P点到x轴的距离为yp，则
=
，
解得yp=
•BO=
•3=
-
t，
∴S=
OQ•YP=
•t•（
-
t）=
t-
t2；
（3）只有当△OPQ是直角三角形时，能拼成矩形，
当点P在OB上时，∠POQ=90°，0＜
＜
，此时0＜t≤
；
当点P在AB上时，∠OPQ=90°，由勾股定理，得
t=3．
（4）当OP最大时，矩形面积最大，即2×t=3，
解得t=
．
| 4 |
| 1 |
| 3+5 |
| x |
解得x=2，
∴点P的运动速度为每秒2个单位长度；
（2）当0＜t≤
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
当
| 3 |
| 2 |
| yp |
| BO |
| AP |
| AB |
解得yp=
| AP |
| AB |
| 8-2t |
| 5 |
| 24 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 24 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
（3）只有当△OPQ是直角三角形时，能拼成矩形，
当点P在OB上时，∠POQ=90°，0＜
| OB |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
当点P在AB上时，∠OPQ=90°，由勾股定理，得
t=3．
（4）当OP最大时，矩形面积最大，即2×t=3，
解得t=
| 3 |
| 2 |
点评：本题考查了一次函数综合题，（1）利用时间相等得出方程是解题关键；（2）分类讨论是解题关键，利用了三角形的面积公式；（3）利用了矩形的性质：矩形的角都是直角，利用了分类讨论的思想，（4）利用了矩形的边长都最长时矩形的面积最大．
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