Question

【题目】如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线BC、CD上运动，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N．下列说法中：①BE+DF＝EF；②点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；③若tan∠BAE＝，则tan∠DAF＝；④若BE＝2，DF＝3，则S△AEF＝18．其中结论正确的是__（将正确的序号写在横线上）

Answer 1

【答案】①②③．

【解析】

根据旋转的性质得到BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，得到∠EAH=∠EAF=45°，根据全等三角形的性质得到EH=EF，∠AEB=∠AEF，于是得到BE+BH=BE+DF=EF，故①正确；过A作AG⊥EF于G，根据全等三角形的性质得到AB=AG，于是得到点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；故②正确；根据三角函数的定义设BE=m，AB=2m，求得CE=m，设DF=x，则CF=2m-x，EF=BE+DF=m+x，根据勾股定理得到x=m，于是得到tan∠DAF=；故正确；求得EF=BE+DF=5，设BC=CD=n，根据勾股定理即可得到结论.

解：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，

由旋转的性质得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，

∵∠EAF＝45°，

∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°，

∴∠EAH＝∠EAF＝45°，

在△AEF和△AEH中 ，

∴△AEF≌△AEH（SAS），

∴EH＝EF，

∴∠AEB＝∠AEF，

∴BE+BH＝BE+DF＝EF，

故①正确；

过A作AG⊥EF于G，

∴∠AGE＝∠ABE＝90°，

在△ABE与△AGE中 ，

∴△ABE≌△AGE（AAS），

∴AB＝AG，

∴点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；故②正确；

∵tan∠BAE＝ ，

∴设BE＝m，AB＝2m，

∴CE＝m，

设DF＝x，则CF＝2m﹣x，EF＝BE+DF＝m+x，

∵CF2+CE2＝EF2，

∴（2m﹣x）2+m2＝（m+x）2，

∴x＝m，

∴；故③正确；

∵BE＝2，DF＝3，

∴EF＝BE+DF＝5，

设BC＝CD＝n，

∴CE＝n﹣2，CF＝n﹣3，

∴EF2＝CE2+CF2，

∴25＝（n﹣2）2+（n﹣3）2，

∴n＝6（负值舍去），

∴AG＝6，

∴．故④错误，

故答案为：①②③．