Question

3．如图，在正方形ABCD中，点M，N分别是BC，CD边上的点，连接AM，BN，若BM=CN．
（1）求证：AM⊥BN；
（2）将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段ME，连接NE，试说明：四边形BMEN是平行四边形；
（3）将△ABM绕A逆时针旋转90°得到△ADF，连接EF，当$\frac{BM}{BC}$=$\frac{1}{n}$时，请求出$\frac{{S}_{四边形ABCD}}{{S}_{四边形AMEF}}$的值．

Answer 1

分析 （1）只需证明△ABM≌△BCN即可；
（2）由（1）可知AM=BN且AM⊥BN，而ME是由AM绕点M顺时针旋转90度得到，于是可得ME与BN平行且相等，结论显然；
（3）易证AMEF为正方形，从而问题转化为求两个正方形的边长之比，由于已经知道BM与BC之比，设BM=a，则由勾股定理易求AM．

解答 解：（1）∵ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠C=90°，
在△ABM和△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABM=∠BCN}\\{BM=CN}\end{array}\right.$
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BAM+∠BMA=90°，
∴∠CBN+∠BMA=90°，
∴AM⊥BN；
（2）∵将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段ME，
∴ME=AM，ME⊥AM，
∵△ABM≌△BCN，
∴AM=BN，
∵AM⊥BN，
∴BN=ME，且BN∥ME，
∴四边形BMEN是平行四边形；
（3）∵将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段ME，将△ABM绕A逆时针旋转90°得到△ADF，
∴∠MAF=∠AME=90°，AF=ME=AM
∴AF∥ME，
∴AMEF是平行四边形，
∴AMEF是正方形，
∵$\frac{BM}{BC}=\frac{1}{n}$，可以设BM=a，AB=na，
在直角三角形ABM中，AM=$\sqrt{{a}^{2}+（na）^{2}}=\sqrt{{n}^{2}+1}a$，
∴$\frac{S四边形ABCD}{S四边形AMEF}$=$\frac{A{B}^{2}}{A{M}^{2}}=\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$．

点评 本题为四边形综合题，主要考查了正方形的判定与基本性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、旋转变换的性质、勾股定理等重要知识点，难度不大．本题虽然简单，但其所包含的基本模型却是很多题的原型，熟练掌握有助于解决相关的较难题目．