Question

9．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE=2，连接CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是2$\sqrt{3}$；③tan∠DCF=$\frac{3\sqrt{3}}{7}$；④△ABF的面积为$\frac{12}{5}$$\sqrt{3}$．其中一定成立的是①②③（把所有正确结论的序号都填在横线上）．

Answer 1

分析 利用SAS证明△ABF与△CBF全等，得出①正确，根据含30°角的直角三角形的性质得出点E到AB的距离是2$\sqrt{3}$，得出②正确，同时得出；△ABF的面积为$\frac{18\sqrt{3}}{5}$得出④错误，得出tan∠DCF=$\frac{3\sqrt{3}}{7}$，得出③正确．

解答 解：∵菱形ABCD，
∴AB=BC=6，
∵∠DAB=60°，
∴AB=AD=DB，∠ABD=∠DBC=60°，
在△ABF与△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABF=∠FBC}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴①正确；
过点E作EG⊥AB，过点F作MH⊥CD，MH⊥AB，如图：

∵CE=2，BC=6，∠ABC=120°，
∴BE=6-2=4，
∵EG⊥AB，
∴EG=$2\sqrt{3}$，
∴点E到AB的距离是2$\sqrt{3}$，
故②正确；
∵BE=4，EC=2，
∴S_△BFE：S_△FEC=4：2=2：1，
∴S_△ABF：S_△FBE=3：2，
∴△ABF的面积为=$\frac{3}{5}{S}_{△ABE}=\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×6×2\sqrt{3}=\frac{18\sqrt{3}}{5}$，
故④错误；
∵${S}_{△ADB}=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$，
∴${S}_{△DFC}={S}_{△ADB}-{S}_{△ABF}=9\sqrt{3}-\frac{18\sqrt{3}}{5}$=$\frac{27\sqrt{3}}{5}$，
∵${S}_{△DFC}=\frac{1}{2}×6×FM=\frac{27\sqrt{3}}{5}$，
∴FM=$\frac{9\sqrt{3}}{5}$，
∴DM=$\frac{MF}{\sqrt{3}}=\frac{\frac{9\sqrt{3}}{5}}{\sqrt{3}}=\frac{9}{5}$，
∴CM=DC-DM=6-$\frac{9}{5}=\frac{21}{5}$，
∴tan∠DCF=$\frac{MF}{CM}=\frac{\frac{9\sqrt{3}}{5}}{\frac{21}{5}}=\frac{3\sqrt{3}}{7}$，
故③正确；
故答案为：①②③

点评 此题考查了四边形综合题，关键是根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质分析．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．