Question

4．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点．连接CE，连接DE交AC于F，AD=4，AB=6．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）求AC的值；
（3）求$\frac{AC}{AF}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）根据相似三角形的对应边的比相等列出比例式，计算即可；
（3）根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到CE=AE，证明△AFD∽△CFE，根据相似三角形的性质解答即可．

解答 （1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB；
（2）解：∵△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，即AC²=AD•AB=24，
解得，AC=2$\sqrt{6}$；
（3）解：∵E为AB的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=AE，
∴∠EAC=∠ECA；
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD；
∴△AFD∽△CFE，
∴$\frac{AD}{CE}$=$\frac{AF}{CF}$，
∵CE=$\frac{1}{2}$AB=3，AD=4，
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AC}{AF}$=$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查的是直角三角形的性质、相似三角形的判定及其性质，牢固掌握直角三角形的性质、相似三角形的判定及其性质是解题的关键．