Question

20．如图，在直角坐标系中，已知P（-2，-1），点T（t，0）是x轴上的一个动点．
（1）求点P关于原点的对称点M的坐标．
（2）已知点N（0，2）为y轴上的一点，求经过P、M、N三点的抛物线的解析式，并求出该抛物线的顶点坐标．
（3）点T在运动过程中，是否存在某个时刻使△MTO为等腰三角形？若存在，求出点T的坐标．若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数；
（2）设经过P、M、N三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0）．把点P、M、N三点的坐标分别代入函数解析式，联立方程组并解答；
（3）分三种情况进行解答：①当OT=OM时，以点O为圆心，以OM为半径画圆，交x轴于两点：T₁、T₂；
②当OM=MT时，以点M为圆心，以OM为半径画圆，交x轴于两点：O（不合题意）、T₃；
③当OM为等腰三角形的底边时，作OM的垂直平分线，交x轴于一点：T₄．
结合点的坐标与图形的性质以及函数图象上点的坐标特征进行解答．

解答 解：（1）点P（-2，-1）关于原点的对称点M的坐标为（2，1）；

（2）设经过P、M、N三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0）．把P（-2，-1）、M（2，1）、N（0，2）代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=-1}\\{4a+2b+c=1}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴经过P、M、N三点的抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2．
又∵y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{17}{8}$，
∴抛物线的顶点坐标为：（$\frac{1}{2}$，$\frac{17}{8}$）；

（3）∵M（2，1），
∴OM=$\sqrt{5}$，
 ①当OT=OM时，以点O为圆心，以OM为半径画圆，交x轴于两点：T₁、T₂
∴OT₁=OT₂=OM=$\sqrt{5}$，
∴T₁（-$\sqrt{5}$，0）；T₂（$\sqrt{5}$，0）；
 ②当OM=MT时，以点M为圆心，以OM为半径画圆，交x轴于两点：O（不合题意）、T₃
∵M（2，1），且OM=MT₃，
∴OT₃=4，
∴T₃（4，0）；
 ③当OM为等腰三角形的底边时，作OM的垂直平分线，交x轴于一点：T₄，
设OT₄的长为a，
∵M（2，1），
∴AT₄=2-a，MA=1，
∴在Rt△MAT₄中，MT₄²=（2-a）²+1²，
∴（2-a）²+1²=a²，
解得：a=$\frac{5}{4}$，
∴T₄（$\frac{5}{4}$，0）．
总之，符合条件的T点存在，共有四个：T₁（-$\sqrt{5}$，0）；T₂（$\sqrt{5}$，0）、T₃（4，0）、T₄（$\frac{5}{4}$，0）．

点评 本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数解析式的三种形式，二次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的判定与性质．解答（3）题时，没有明确等腰三角形的底边时，一定要分类讨论，以防漏解．另外，在利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题中已知条件选择二次函数解析式的形式．