Question

已知正方形ABCD边长为1，Q为BC延长线上一点，QA与CD、BD分别交于点P、E，QO与CD交于点F，若EF∥AC，求AP的长．

Answer 1

考点：正方形的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：先根据相似三角形的性质得到DE与BD的关系并求出DE，然后根据EF∥AC和FC∥OH得到成比例的线段进而得到FC与AP的长度．

解答：解：如图所示，作OH⊥BC于点H，设CQ=a，
∵AD∥BC，
∴△AED～△QEB，
∴

AD

QB

=

DE

BE

，
即

1

1+a

=

DE

BE

，
∴DE=

1

1+(1+a)

BD=

1

2+a

BD=

2

2+a

，
∵EF∥AC，
∴DF=

2

DE=

2

2+a

，
∴FC=1-

2

2+a

=

a

2+a

，
∵FC∥OH，
∴

FC

OH

=

QC

QH

，
即

a 2+a

1 2

=

a

a+ 1 2

，
解得a=1，
∴AP=

12+( 1 2 )2

=

5

2

．

点评：该题目考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，关键是由题意分析出辅助线的作法．