Question

13．给定直线l：y=kx，抛物线C：y=ax²+x+1，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a的值．

Answer 1

分析 根据两交点关于原点对称，可得k的值，根据抛物线的顶点坐标在y=x上，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：∵l：y=kx，C：y=ax²+bx+1，当b=1时有A，B两交点，
∴A，B两点的横坐标满足kx=ax²+x+1，即ax²+（1-k）x+1=0．
∵B与A关于原点对称，
∴0=x_A+x_B=$\frac{k-1}{a}$，
∴k=1．
∵y=ax²+x+1=a（x+$\frac{1}{2a}$）²+1-$\frac{1}{4a}$，
∴顶点（-$\frac{1}{2a}$，1-$\frac{1}{4a}$）在y=x上，
∴-$\frac{1}{2a}$=1-$\frac{1}{4a}$，
解得a=-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，利用图象的交点坐标得出k的值是解题关键，又利用顶点坐标在直线y=x上得出关于a的方程．