Question

2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O交AC于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F，且BD=BF．
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）若BC=6，DF=8，求⊙O的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OE，求出∠ODE=∠F=∠DEO，推出OE∥BC，得出OE⊥AC，根据切线的判定推出即可；
（2）证△BEF∽△EFC，根据相似三角形的性质求得CF=2，进而求得BD=BF=8，然后根据圆的面积公式求得即可．

解答 （1）证明：连接OE，
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∵BD=BF，
∴∠ODE=∠F，
∴∠OED=∠F，
∴OE∥BF，
∴∠AEO=∠ACB=90°，
∴AC与⊙O相切；
（2）解：连接BE，
∵BD是直径，
∴BE⊥DF，
∵BD=BF，
∴DE=EF=$\frac{1}{2}$DF=4，
∵∠ACB=∠BEF=90°，∠EFB=∠CFE，
∴△BEF∽△EFC，
∴$\frac{EF}{CF}$=$\frac{BF}{EF}$，即$\frac{4}{CF}$=$\frac{6+CF}{4}$，
解得CF=2，
∴BD=BF=BC+CF=8，
∴⊙O的面积=π•（$\frac{1}{2}$BD）²=16π．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质的应用，主要考查学生的推理和计算能力．