Question

【题目】如图，抛物线与轴交于，两点，其中，，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，直线经过点，，连接．

（1）求抛物线和直线的解析式：

（2）若抛物线上存在一点，使的面积是面积的2倍，求点的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使线段绕点顺时针旋转得到线段，且恰好落在抛物线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说叫理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2），；（3）存在，点的坐标为和．

【解析】

（1）先利用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可求出点C的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AC的解析式；

（2）先根据二次函数的性质可得，从而可得，再根据平行线的性质可知过点B作，与抛物线的交点即为其他符合条件的点P，然后联立直线BE和抛物线的解析式求解即可得；

（3）分当点Q在x轴的上方和当点Q在x轴的下方两种情况，再分别根据直角三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质、二次函数的性质求解即可得．

（1）把，代入得

解得

∴抛物线的解析式为

当时，

∴点的坐标是

把，代入得

解得

∴直线的解析式为；

（2）∵

∴

如图，过点作

由平行线的性质可知，直线BE上的点到AC的距离均相等

则直线BE上的任意一点与点A、C组成的三角形的面积均等于的面积，均为面积的2倍

设直线BE的解析式为

将点代入得，解得

则直线BE的解析式为

联立，解得，

故符合条件的点的坐标为，；

（3）由题意，分以下两种情况：

①当点Q在x轴的上方

设与对称轴交点为

由可知，抛物线的对称轴为

令代入得

∴坐标为

∴

∴

∴

∴即为所求

②当点Q在x轴的下方

如图，过点作于点F

由旋转的性质得：

在和中，

设，则

点的横坐标为，纵坐标为，即

将代入得

解得或（不符题意，舍去）

即

的坐标为

综上，点的坐标为和．