题目内容
已知⊙O是△ABC的内切圆，D、E、N是切点，联结NO并延长与DE交于点K，联结AK并延长与BC交于点M，证明：M是BC的中点．考点：圆的综合题
专题：证明题
分析：根据切线的性质得∠BDO=∠BNO=90°，则∠BDO+∠BNO=180°，所以B、N、O、D四点共圆，则∠KOD=∠B，同理，∠KOE=∠C；再根据三角形面积公式得到
=
=
=
=
，即
=
，同样根据三角形面积公式得到
=
=
=
，即
=
，根据三角形面积公式得到
=
，利用切线长相等得到AD=AE，所以
=
=
，于是
=
，所以
=
•
，然后根据正弦定理得
=
，即ABsinB=ACsinC，所以
=1．
| S△DKO |
| S△EKO |
| DK |
| EK |
| ||
|
| sin∠KOD |
| sin∠KOE |
| sinB |
| sinC |
| DK |
| EK |
| sinB |
| sinC |
| S△ABM |
| S△ACM |
| BM |
| CM |
| ||
|
| AB•sin∠DAK |
| AC•sin∠EAK |
| BM |
| CM |
| AB•sin∠DAK |
| AC•sin∠EAK |
| S△ADK |
| S△AEK |
| ||
|
| S△ADK |
| S△AEK |
| sin∠DAK |
| sin∠EAK |
| DK |
| EK |
| sinB |
| sinC |
| sin∠DAK |
| sin∠EAK |
| BM |
| CM |
| AB |
| AC |
| sinB |
| sinC |
| sinB |
| AC |
| sinC |
| AB |
| BM |
| CM |
解答：解：如图，∵⊙O是△ABC的内切圆，D、E、N是切点，
∴∠BDO=∠BNO=90°，
∴∠BDO+∠BNO=180°，
∴B、N、O、D四点共圆，
∴∠KOD=∠B．
同理，∠KOE=∠C．
∴
=
=
=
=
，
∵
=
，
而
=
=
，
∴
=
，
∵
=
，
而AD=AE，
∴
=
=
，
∴
=
，
∴
=
•
，
∵
=
，即ABsinB=ACsinC，
∴
=1，
即M为BC的中点．
∴∠BDO=∠BNO=90°，
∴∠BDO+∠BNO=180°，
∴B、N、O、D四点共圆，
∴∠KOD=∠B．
同理，∠KOE=∠C．
∴
| S△DKO |
| S△EKO |
| DK |
| EK |
| ||
|
| sin∠KOD |
| sin∠KOE |
| sinB |
| sinC |
∵
| S△ABM |
| S△ACM |
| BM |
| CM |
而
| S△ABM |
| S△ACM |
| ||
|
| AB•sin∠DAK |
| AC•sin∠EAK |
∴
| BM |
| CM |
| AB•sin∠DAK |
| AC•sin∠EAK |
∵
| S△ADK |
| S△AEK |
| ||
|
而AD=AE，
∴
| S△ADK |
| S△AEK |
| sin∠DAK |
| sin∠EAK |
| DK |
| EK |
∴
| sinB |
| sinC |
| sin∠DAK |
| sin∠EAK |
∴
| BM |
| CM |
| AB |
| AC |
| sinB |
| sinC |
∵
| sinB |
| AC |
| sinC |
| AB |
∴
| BM |
| CM |
即M为BC的中点．
点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质、切线长定理和正弦定理；也要会运用三角形的面积公式和圆内接四边形的性质．
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