Question

如图（1），抛物线y=x²-2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）．[图（2）、（3）为解答备用图]
（1）k=

-3

，点A的坐标为

（-1，0）

，点B的坐标为

（3，0）

；
（2）设抛物线y=x²-2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；
（3）在抛物线y=x²-2x+k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．

Answer 1

分析：（1）把点C的坐标代入函数解析式，然后求出k的值即可；令y=0，得到关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，再根据点A在点B的左边，写出坐标即可；
（2）把抛物线解析式整理成顶点式，然后写出顶点坐标，再连接OM，分别求出△AOC、△MOC、△MOB的面积，然后根据四边形ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积进行计算即可求解；
（3）因为直角顶点不明确，所以分①点B为直角顶点，设QB与y轴交于点E，根据∠CBO=45°可得∠EBO=45°，然后求出点E的坐标，再利用待定系数法列式求出直线BE的解析式，与抛物线联立求解即可；②点C为直角顶点，设CQ与x轴交于点F，根据∠CBO=45°可得∠CFB=45°，然后求出点F的坐标，再利用待定系数法列式求出直线CF的解析式，与抛物线联立求解即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²-2x+k与y轴交于点C（0，-3），
∴k=-3，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3，
令y=0，则x²-2x-3=0，
∴（x+1）（x-3）=0，
∴x+1=0，x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴点A的坐标为A（-1，0），点B的坐标为B（3，0）；
故答案为：-3，（-1，0），（3，0）；

（2）如图（1），∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴抛物线的顶点为M（1，-4），连接OM，
则△AOC的面积=

1

2

AO•OC=

1

2

×1×3=

3

2

，△MOC的面积=

1

2

OC•|x_M|=

1

2

×3×1=

3

2

，
△MOB的面积=

1

2

OB•|y_M|=

1

2

×3×4=6，
∴四边形ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=

3

2

+

3

2

+6=9；
（说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．）

（3）如图（2），过点B作BQ₁⊥BC，交抛物线于点Q₁、交y轴于点E，连接Q₁C，
∵∠CBO=45°，
∴∠EBO=45°，BO=OE=3，
∴点E的坐标为（0，3），
∴直线BE的解析式为y=-x+3，
由

y=-x+3 y=x2-2x-3

，
 解得

x1=-2 y1=5

，

x2=3 y2=0

，
∴点Q₁的坐标为（-2，5）；
如图（3），过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q₂、交x轴于点F，连接BQ₂，
∵∠CBO=45°，
∴∠CFB=45°，OF=OC=3，
∴点F的坐标为（-3，0），
∴直线CF的解析式为y=-x-3，
由

y=-x-3 y=x2-2x-3

，
 解得

x1=0 y1=-3

，

x2=1 y2=-4

，
∴点Q₂的坐标为（1，-4）．
综上，在抛物线上存在点Q₁（-2，5）、Q₂（1，-4），使△BCQ₁、△BCQ₂是以BC为直角边的直角三角形．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，以及函数图象交点的求法，（3）题需要注意分直角顶点的不同进行讨论求解．