Question

如图，n+1个边长为1的等边三角形一边均在同一直线上，设△BMN面积为S，△B₁M₁N₁面积为S₁，△B₂M₂N₂的面积为S₂，…，△B_nM_nN_n的面积记为S_n，则：
①S=

3

8

，
②请你计算归纳S₁，S₂，…，可得S₁+S₂+…+S₂₀₁₁=

2011

16104

3

．

Answer 1

分析：①连接BB₁，由于△BAN是边长为1的等边三角形，则S_△BAN=

3

4

．由于BN∥B₁A且BN=B₁A，则四边形BNAB₁是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分得出BM=AM，则S=

1

2

S_△BAN=

3

8

；
②连接B₁、B₂、B₃…B_n点，显然它们共线且平行于NA_n，则B₁B₂∥NA，△B₁B₂N₁∽△ANN₁，△B₁B₂M₁∽△A₂NM₁，根据相似三角形的性质得出B₁N₁：AN₁=B₁B₂：AN=1，B₁M₁：M₁A₂=B₁B₂：A₂N=1：2，然后根据三角形的面积公式得出S₁=

1

2

×

1

3

S_△BAN，同理，可求出S₂=

1

3

×

1

4

S_△BAN，…，S₂₀₁₁=

1

2012

×

1

2013

S_△BAN，最后将它们相加即可．

解答：解：①连接BB₁．
∵△BAN是边长为1的等边三角形，∴S_△BAN=

3

4

．
∵∠BNA=∠B₁AA₂=60°，∴BN∥B₁A，
∵BN=B₁A，∴四边形BNAB₁是平行四边形，
∴BM=AM，
∴S=

1

2

S_△BAN=

3

8

；

②连接B₁、B₂、B₃…B_n点，显然它们共线且平行于NA_n，则B₁B₂∥NA，
∴△B₁B₂N₁∽△ANN₁，△B₁B₂M₁∽△A₂NM₁，
∴B₁N₁：AN₁=B₁B₂：AN=1，B₁M₁：M₁A₂=B₁B₂：A₂N=1：2，
∴B₁N₁=

1

2

AB₁，B₁M₁=

1

3

A₂B₁，
∴S₁=

1

2

×B₁N₁×B₁M₁sin∠N₁B₁M₁=

1

2

×

1

2

AB₁×

1

3

A₂B₁sin∠N₁B₁M₁=

1

2

×

1

3

S_△BAN=（

1

2

-

1

3

）S_△BAN，
同理，△B₂B₃N₂∽△A₂NN₂，△B₂B₃M₂∽△A₃NM₂，
∴B₂N₂：A₂N₂=B₂B₃：A₂N=1：2，B₂M₂：M₂A₃=B₂B₃：A₃N=1：3，
∴B₂N₂=

1

3

A₂B₂，B₂M₂=

1

4

A₃B₂，
∴S₂=

1

2

×B₂N₂×B₂M₂sin∠N₂B₂M₂=

1

2

×

1

3

A₂B₂×

1

4

A₃B₂=

1

3

×

1

4

S_△BAN=（

1

3

-

1

4

）S_△BAN，
…，
∴S₂₀₁₁=

1

2012

×

1

2013

S_△BAN=（

1

2012

-

1

2013

）S_△BAN，
∴S₁+S₂+…+S₂₀₁₁=（

1

2

-

1

3

）S_△BAN+（

1

3

-

1

4

）S_△BAN+…+（

1

2012

-

1

2013

）S_△BAN=（

1

2

-

1

2013

）S_△BAN=

2011

4026

×

3

4

=

2011

16104

3

．
故答案为：①

3

8

；②

2011

16104

3

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、等边三角形的定义和性质、三角形的面积公式等知识点、本题关键在于作好辅助线，得到相似三角形，求出相似比，就很容易得出答案了，意在提高同学们总结归纳的能力．