Question

（本题满分12分）数学活动——“关于三角形全等的条件”

1.【问题提出】

学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．

2.【初步思考】

我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．

3.【逐步探究】

（1）第一种情况：当∠B是直角时，如图①，根据______定理，可得△ABC≌△DEF．

（2）第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF仍成立．请你完成证明.

已知：如图②，△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．

证明：

（3）第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．

在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）

4.【深入思考】

∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？（请直接写出结论．）

在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若∠B _________，则△ABC≌△DEF．

Answer 1

见解析

【解析】

试题分析：（1）对于直角三角形，要判定全等，除了SAS,ASA,AAS,SSS,外还有HL可判定其全等；（2）如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作DH⊥DE交DE的延长线于H，要想证明△ABC和△DEF全等，只需证明∠A=∠D，即可，所以证明Rt△ACG和Rt△DFH全等即可，而根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，从而Rt△ACG和Rt△DFH全等；（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC不全等；（4）根据前面的三种情况的结论，可得∠B不小于∠A．

试题解析：3.【逐步探究】

（1）HL 2分

（2）证明：分别作CG⊥AB，FH⊥DE

由∠ABC=∠DEF

得∠CBG=∠FEH4分

又BC=EF，所以可证明△ACG≌△DFH（AAS）

所以CG=FH ，因为AC=DF，

所以Rt△ACG≌Rt△DFH（HL）

所以∠A=∠D，所以△ABC≌△DEF（AAS）

（3）如图，

4.【深入思考】∠B≥∠A．

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.直角三角形的判定与性质；3.尺规作图.