Question

在凸四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC把四边形ABCD分成两个等腰三角形，则∠ABC的度数为

 

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Answer 1

考点：等腰三角形的判定

专题：分类讨论

分析：首先根据题意画出图形，然后由AC把四边形ABCD分成两个等腰三角形，可以得出△ACD是等腰三角形，从图1，图2，图3三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形的性质就可以求出∠ABC的度数．

解答：解：∵AC把四边形ABCD分成两个等腰三角形，
∴△ACD是等腰三角形．
如图1，当AD=AC时，
∵AB=AD=BC，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是正三角形，
∴∠ABC=60°；
如图2，当AD=CD时，
∵AB=AD=BC，
∴AB=AD=BC=CD，
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°；
如图3，当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，
∵AC=CD，CE⊥AD，
∴AE=

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AD，∠ACE=∠DCE．
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴BF=AE．
∵AB=AD=BC，
∴BF=

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BC，
∴∠BCF=30°．
∵AB∥CE，
∴∠ABC=180°-∠BCF=150°，
综上所述，∠ABC的度数为60°、90°、150°．
故答案为：60°、90°、150°．

点评：此题考查了等腰三角形的性质、矩形的性质、正方形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．