Question

12．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB边上一点，且不与A，B两点重合，AE⊥AB，AE=BD，连接DE、DC
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）猜想CD与CE的数量关系和位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可得△ABC是等腰直角三角形，由AE⊥AB即可得到∠1=∠B，从而可利用SAS判定△ACE≌△BCD．
（2）根据已知可猜想CE=CD，CE⊥CD，由第一问可得CE=CD，∠3=∠4，根据等角的性质可推出∠ECD=90°，从而得到答案．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=∠2=45°．
∵AE⊥AB，
∴∠1+∠2=90°．
∴∠1=45°．
∴∠1=∠B．
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BD}\\{∠1=∠B}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．

（2）猜想：CE=CD，CE⊥CD；理由说明：
解：∵△ACE≌△BCD，
∴CE=CD，∠3=∠4．
∵∠4+∠5=90°，
∴∠3+∠5=90°．
即∠ECD=90°．
∴CE⊥CD．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，以及学生对全等三角形的判定方法及等腰直角三角形的判定的综合运用．