Question

20．在等腰△ABC中，顶角∠A=100°，作∠B的平分线交AC于点E，求证：AE+BE=BC．

Answer 1

分析 延长BE到F，使BF=BC，连接FC，由AB=AC，∠A=100°，得到∠ABC=∠ACB=40°，由于BE平分∠ABC，于是得到∠ABE=∠EBC=20°，通过△FCE≌△F′CE，得到EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，证得△ABE≌△F′BE，于是得到AE=EF′，于是得到结论．

解答 解：如图，延长BE到F，使BF=BC，连接FC，

∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠ABC=∠ACB=40°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=20°，
∵BF=BC，
∴∠F=∠BCF=80°，
∴∠FCE=∠ACB=40°，
在BC上取CF′=CF，连接EF′，
在△FCE与△F′CE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CF′}\\{∠F'CE=∠FCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△FCE≌△F′CE，
∴EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，
∴∠BF′E=100°，
∴∠A=∠BF′E，
在△ABE与△BF′E中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BF'E}\\{∠ABE=∠F'BE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△F′BE，
∴AE=EF′，
∴AE=EF，
∴BC=BE+EF=BE+AE．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，作辅助线构建全等三角形是解题的关键．