Question

6．如图，在△ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在△ABC上，求证：$\frac{1}{AB}=\frac{1}{CD}=\frac{1}{EF}$．

Answer 1

分析 根据正方形的性质得到EF⊥AB，证得EF∥CD，得到△AEF∽△ACD，根据相似三角形的性质得到$\frac{EF}{CD}=\frac{AE}{AC}$①，由△CEH∽△CAB，得到$\frac{EH}{AB}=\frac{CE}{AC}$，由于EH=EF，得到$\frac{EF}{AB}=\frac{CE}{AC}$②，①+②得$\frac{EF}{CD}+\frac{EF}{AB}=\frac{AE}{AC}+\frac{CE}{AC}$=1，即可得到结论．

解答 证明：∵四边形EFGH是正方形，
∴EF⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴EF∥CD，
∴△AEF∽△ACD，
∴$\frac{EF}{CD}=\frac{AE}{AC}$①，
∵EH∥AB，
∴△CEH∽△CAB，
∴$\frac{EH}{AB}=\frac{CE}{AC}$，
∵EH=EF，
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{CE}{AC}$②，
①+②得，$\frac{EF}{CD}+\frac{EF}{AB}=\frac{AE}{AC}+\frac{CE}{AC}$=1，
∴$\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{EF}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．