已知直线y=$\frac{4}{3}$x+8交x轴于A点.交y轴于B点.点C为OB的中点.点D在第二象限.且四边形AOCD为长方形．,点E的坐标为．(2)设直线AB与CD相交于点E.动点P从A点出发.以每秒2个单位长度的速度.沿AO.OC向点C作匀速运动.设点P的运动时间为t秒.①△PAE的面积为S.请求出S关于t的函数关系式.并写出自变量t的取值范围,②在动点P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．已知直线y=$\frac{4}{3}$x+8交x轴于A点，交y轴于B点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为长方形．
（1）点D的坐标为（-6，4）；点E的坐标为（-3，4）．
（2）设直线AB与CD相交于点E，动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿AO、OC向点C作匀速运动，设点P的运动时间为t秒，
①△PAE的面积为S，请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
②在动点P从A出发的同时，动点Q从C点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿CE向点E作匀速运动，当P、Q中的一点到达终点后，该点停止运动，另一点继续运动，直至到达终点，整个运动停止．问：是否存在这样的t，使得直线PQ将四边形AOCE的面积分成1：3两部分？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）先求出点A、B的坐标，由C为OB的中点，C的坐标，E为AB的中点，再求出CE为△OAB的中位线，得出CE=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$CD=3，即可；
（2）①分点P在OA和OC上，利用面积的差即可得出结论；
②分三种情况：Ⅰ、当0＜t＜3时，由题意得出关于t的方程，解方程即可；
Ⅱ、当t=3时，由△EOC的面积=$\frac{1}{2}$×3×4=6≠18×$\frac{1}{4}$，得出t≠3；
Ⅲ、当3＜t≤5时，Q停止运动，OP=2t-6，得出CP=10-2t，由△ECP的面积=$\frac{1}{2}$×3×（10-2t）=$\frac{1}{4}$×18，解方程即可．

解答（1）证明：对于直线y=$\frac{4}{3}$x+8，
当x=0时，y=8；当y=0时，x=-6；
∴A（-6，0），B（0，8），OA=6，OB=8，
∵四边形AOCD是矩形，
∴OA∥CD，CD=OA=6，AD=OC=4，
∴D（-6，4），
∵点C为OB的中点，
∴E为AB的中点，
∴CE为△OAB的中位线，
∴CE=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$CD=3，
∴E（-3，4）
故答案为：（-6，4），（-3，4）
（2）解：①当0＜t≤3时，如图3

由运动知，AP=2t，
∴S=S_△PAE=$\frac{1}{2}$AP×OC=2×2t=4t，
当3＜t≤5时，如图4，

由运动知，OP=2t-OA=2t-6，∵OC=4，∴PC=OC-OP=4-（2t-6）=10-2t，
∴S=S_△PAE=S_梯形AOCE-S_△AOP-S_△PCE
=$\frac{1}{2}$（CE+OA）•OC-$\frac{1}{2}$OA•OP-$\frac{1}{2}$CE•PC
=$\frac{1}{2}$（3+6）×4-$\frac{1}{2}$×6×（2t-6）-$\frac{1}{2}$×3×（10-2t）
=-3t+21
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{4t（0＜t≤3）}\\{-3t+21（3＜t≤5）}\end{array}\right.$
②存在；
梯形AOCE的面积=$\frac{1}{2}$（3+6）×4=18；
分三种情况讨论：
Ⅰ、当0＜t＜3时，如图1，

若梯形APQE的面积=$\frac{1}{2}$（2t+3-t）×4=18×$\frac{1}{4}$，
解得：t=-$\frac{3}{4}$，不合题意，舍去；
若梯形APQE的面积=$\frac{1}{2}$（2t+3-t）×4=18×$\frac{3}{4}$，
解得：t=$\frac{15}{4}$，不合题意，舍去；
Ⅱ、当t=3时，∵△EOC的面积=$\frac{1}{2}$×3×4=6≠18×$\frac{1}{4}$，
∴t≠3；
Ⅲ、当3＜t≤5时，如图2，

Q停止运动（点Q与E重合），OP=2t-6，
∴CP=4-（2t-6）=10-2t，
当△ECP的面积=$\frac{1}{2}$×3×（10-2t）=$\frac{1}{4}$×18时，
解得：t=$\frac{7}{2}$，符合题意；
综上所述：当t=$\frac{7}{2}$时，直线PQ将四边形AOCE的面积分成1：3两部．