题目内容
18．如图，平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x与x轴交与O、B两点，顶点为P，连接OP、BP，直线y=x-4与y轴交于点C，与x轴交于点D．
（1）直接写出点B坐标（2，0）；判断△OBP的形状△OBP是等腰直角三角形；
（2）将抛物线向下平移m个单位长度，平移的过程中交y轴于点A，分别连接CP、DP：
①当S△PCD=$\sqrt{2}$S△POC时，求平移后的抛物线的顶点坐标；
②在向下平移的过程中，试探究S△PCD和S△POD之间的数量关系；直接写出它们之间的数量关系及对应的m的取值范围．
分析 （1）利用坐标轴上点的坐标特征和抛物线顶点公式即可得出B，P坐标，进而用勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）先确定出点C，D坐标，求出点M的坐标，确定出平移后抛物线的顶点坐标，进而得出PM，即可得出△PCD的面积，
①求出△POC的面积即可得出△PCD的面积，最后用面积公式即可确定出点P坐标；
②求出△POD的面积，进而分三种情况寻找△PCD和△POD的面积关系．
解答 解：（1）∵抛物线y=x2-2x=x（x-2），
∴B（2，0），
∵抛物线y=x2-2x=（x-1）2-1，
∴P（1，-2），
∴OP2=2，BP2=2OB2=4，
∴OP2+BP2=OB2，OP=BP，
∴△OBP是等腰直角三角形，
故答案为：（2，0），△OBP是等腰直角三角形；
（2）如图2，
∵直线y=x-4与y轴交于点C，与x轴交于点D．
∴C（0，-4），D（4，0），
当x=1时，y=-3，
∴M（1，-3）；
抛物线向下平移m个单位长度，
∴平移后的抛物线解析式为y=（x-1）2-（1+m），P（1，-（1+m），
∴PM=|-（1+m）+3|=|m-2|
∴S△PCD=S△PMC+S△PMD=$\frac{1}{2}$PM•|xD-xC|=$\frac{1}{2}$×|m-2|×4=2|m-2|，
①S△POC=$\frac{1}{2}$AC×|xP|=$\frac{1}{2}$×4×1=2，
∵S△PCD=$\sqrt{2}$S△POC，
∴S△PCD=2|m-2|=2$\sqrt{2}$，
∴m=2+$\sqrt{2}$或m=2-$\sqrt{2}$．
∴P（1，-（3+$\sqrt{2}$））或（1，-（3-$\sqrt{2}$））；
②S△POD=$\frac{1}{2}$OD•|yP|=$\frac{1}{2}$×4×|-（1+m）|=2|m+1|
Ⅰ、当m≥2时，
∴S△PCD=2|m-2|=2m-4
S△POD=2|m+1|=2m+2，
∴S△POD-S△PCD=6，
Ⅱ、当-1≤m＜2时，
∴S△PCD=2|m-2|=4-2m
S△POD=2|m+1|=2m+2，
∴S△POD+S△PCD=6，
Ⅲ、当m＜-1时，
∴S△PCD=2|m-2|=4-2m
S△POD=2|m+1|=-2-2m，
∴S△PCD-S△POD=6，
即：当m≥2时，S△POD-S△PCD=6，当-1≤m＜2时，S△POD+S△PCD=6，当m＜-1时，S△PCD-S△POD=6．
点评 此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，直角三角形的判定，三角形的面积公式，解绝对值方程，熟练掌握坐标系中三角形面积的计算方法是解本题的关键，利用参数寻找△POD和△PCD的面积关系是解本题的难点，是一道中等难点的中考常考题．
培优好卷单元加期末卷系列答案
如图，G为BC的中点，且DG⊥BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF．
已知：如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，CE=BF．
如图△ABC的三个顶点在网格中格点上，求sinA=$\frac{3}{5}$．
如图，△ABC是等边三角形，AB=2cm，动点P、Q分别从点B、C同时出发，运动速度均为2cm/s．点P从B点出发，沿B→C运动，到点C停止，点Q从点C出发，沿C→B运动，到点B停止，连接AP、AQ，点P关于直线AB的对称点为D，连接BD、DQ，设点P的运动时间为t（s）．
如图，在△ABC中，∠C=90°，sinB=$\frac{3}{5}$，AB=15，求△ABC的周长和tanA的值．