Question

【题目】如图1，A（﹣4，0）．正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．

（1）如图2，若α＝60°，OE＝OA，求直线EF的函数表达式．

（2）若α为锐角，tanα＝，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．

（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝x+；(2);(3) △OEP的其中两边的比能为：1，点P的坐标是：P（0，4），P（﹣4，12），P（﹣12，24），P（﹣4，0），P（﹣12，4）．

【解析】

（1）过点E作EH⊥OA于点H，EF与y轴的交点为M，由已知条件证明△AEO为正三角形，求出点E的坐标及OM的长度，再利用E、M的坐标即可求出解析式；

（2）无论正方形边长为多少，绕点O旋转角α后得到正方形OEFG的顶点E在射线OQ上，当AE⊥OQ时，线段AE的长最小利用α为锐角，tanα＝及勾股定理求出边长OE2，即可求出正方形的面积；

（3）分点F在y轴的正半轴上或负半轴上，且点P与点F或点A重合或不重合时，利用△OEP的两边之比为：1分别求出点P的坐标.

（1）如图1，过点E作EH⊥OA于点H，EF与y轴的交点为M．

∵OE＝OA，α＝60°，

∴△AEO为正三角形，

则OH＝2，EH＝2，故点E（﹣2，2），

∠EOM＝30°，OM＝＝，

设EF的函数表达式为：y＝kx+，

将点E的坐标代入上式并解得：k＝，

故直线EF的表达式为：y＝x+；

（2）射线OQ与OA的夹角为α（α为锐角，tanα＝）．

无论正方形边长为多少，绕点O旋转角α后得到正方形OEFG的顶点E在射线OQ上，

∴当AE⊥OQ时，线段AE的长最小．

在Rt△AOE中，设AE＝a，则OE＝3a，

则a2+（3a）2＝42，解得：a2＝，

OE＝3a，

正方形OEFG的面积＝（3a）2＝；

（3）设正方形边长为m．

当点F落在y轴正半轴时．

如图3，

当P与F重合时，△PEO是等腰直角三角形，有或．

在Rt△AOP中，∠APO＝45°，OP＝OA＝4，

∴点P1的坐标为（0，4）．

在图3的基础上，

当减小正方形边长时，

点P在边FG 上，△OEP的其中两边之比不可能为：1；

当增加正方形边长时，存在（图4）和（图5）两种情况．

如图4，

△EFP是等腰直角三角形，

有,

即 ,

此时有AP∥OF．

在Rt△AOE中，∠AOE＝45°，

∴OE＝OA＝4，

∴PE＝OE＝8，PA＝PE+AE＝12，

∴点P的坐标为（﹣4，12）．

如图5，

过P作PR⊥x轴于点R，延长PG交x轴于点H．设PF＝n．

在Rt△POG中，PO2＝PG2+OG2＝m2+（m+n）2＝2m2+2mn+n2，

在Rt△PEF中，PE2＝PF2+EF2＝m2+n2，

当时，

∴PO2＝2PE2．

∴2m2+2mn+n2＝2（m2+n2），得n＝2m．

∵EO∥PH，

∴△AOE∽△AHP，

∴ ,

∴AH＝4OA＝16，

∴m＝6．

在等腰Rt△PRH中，PR＝HR＝PH＝24，

∴OR＝RH﹣OH＝12，

∴点P的坐标为（﹣12，24）．

当点F落在y轴负半轴时，

如图6，

P与A重合时，在Rt△POG中，OP＝OG，

又∵正方形OGFE中，OG＝OE，

∴OP＝OE．

∴点P的坐标为（﹣4，0）．

在图6的基础上，当正方形边长减小时，△OEP的其中

两边之比不可能为：1；当正方形边长增加时，存在（图7）这一种情况．

如图7，过P作PR⊥x轴于点R，

设PG＝n．

在Rt△OPG中，PO2＝PG2+OG2＝n2+m2，

在Rt△PEF中，PE2＝PF2+FE2＝（m+n ）2+m2＝2m2+2mn+n2．

当时，

∴PE2＝2PO2．

∴2m2+2mn+n2＝2n2+2m2，

∴n＝2m，

由于NG＝OG＝m，则PN＝NG＝m，

∵OE∥PN，

∴△AOE∽△ANP，

∴,

即AN＝OA＝4．

在等腰Rt△ONG中，ON＝m，

∴8＝m，

∴m＝4，

在等腰Rt△PRN中，RN＝PR＝4，

∴点P的坐标为（﹣12，4）．

所以，△OEP的其中两边的比能为：1，

点P的坐标是：P（0，4），P（﹣4，12），P（﹣12，24），P（﹣4，0），P（﹣12，4）．