Question

已知，如图，直线y=

3

3

x+

3

与x轴、y轴分别交于A、B两点，⊙M经过原点O及A、B两点．
（1）求以OA、OB两线段长为根的一元二方程；
（2）C是⊙M上一点，连接BC交OA于点D，若∠COD=∠CBO，写出经过O、C、A三点的二次函数的解析式；
（3）若延长BC到E，使DE=2，连接EA，试判断直线EA与⊙M的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题的关键是求出OA，OB的长，可根据过A，B两点的直线解析式来得出A，B两点的坐标，即可得出OA，OB的长．进而可根据韦达定理得出所求的一元二次方程．
（2）本题要先求出C点的坐标，已知∠COD=∠CBO，那么C是弧OA的中点，连接MC，可根据垂径定理求出C点的坐标．而后根据O，A，C三点的坐标即可得出抛物线的解析式．
（3）本题只需证EA⊥AB即可．在直角三角形OBD中，可求得∠BDO=60°，而AD=DE=2，由此可得出三角形ADE是等边三角形，因此∠DAE=60°，而∠BAO=30°，由此可得出∠BAE=90°，即可得证．

解答：解：（1）∵直线y=

3

3

x+

3

与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（-3，0），B（0，

3

）
∴OA=3，OB=

3

．
以OA，OB两线段长为根的一元二次方程是：x²-（

3

+3）x+3

3

=0．

（2）∵∠COD=∠CBO，∠COD=∠CBA
∴∠CBA=∠CBO
∴弧AC=弧OC
∵∠AOB=90°
∴AB为⊙M的直径．
连接MC交OA于点G．
∴MC⊥OA．
∴OG=AG=

1

2

OA=

3

2

．
根据勾股定理得：MG=

AM2-AG2

=

3

2

，
∴MC=

1

2

AB=

1

2

OB2+OA2

=

1

2

( 3 )2+32

=

3

∴CG=MC-MG=

3

-

3

2

=

3

2

．
∴C（-

3

2

，-

3

2

）．
设经过O，C，A三点的二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，依题意可得：

c=0 9 4 a- 3 2 b+c=- 3 2 9a-3b+c=0

，
解得：

a= 2 9 3 b= 2 3 3 c=0

，
因此抛物线的解析式为y=

2 3

9

x²+

2 3

3

x．

（3）直线EA与⊙M相切，理由如下：
在直角三角形OAB中，
∵OB=

3

，OA=3；
∴tan∠OAB=

3

3

，
∴∠OAB=30°，
∴∠OBA=60°，
∵∠COD=∠CBO，∠OCD=∠BCO，
∴△OCD∽△BCO，
∴∠CDO=∠BOC，又∠CDO=∠ADB，
∴∠ADB=∠COB，又∠BAD=∠BCO，
∴△ADB∽△COB，
∴∠ABD=∠CBO=

1

2

∠ABO，
∴∠OBC=30°．
∴∠ADE=∠BDO=60°．
在直角三角形BOD中，OD=OB•tan30°=

3

×

3

3

=1．
∴AD=2，又DE=2
∴△ADE为等边三角形．
∴∠OAE=60°
∴∠BAE=30°+60°=90°
∴直线EA与⊙M相切．

点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，二次函数解析式的确定、垂径定理等知识点．考查学生综合应用知识、解决问题的能力．