Question

如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A=120°，∠C=60°，AB=5，AD=3．
（1）求证：AD=DC；
（2）求四边形ABCD的周长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）在BC上取一点E，使BE=AB，连结DE，证得△ABD≌△EBD，进一步得出∠BED=∠A，利用等腰三角形的判定与性质与等量代换解决问题；
（2）首先判定△DEC为等边三角形，求得BC，进一步结合（1）的结论解决问题．

解答：（1）解：在BC上取一点E，使BE=AB，连结DE．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD．
在△ABD和△EBD中，

AB=BE ∠ABD=∠EBD BD=BD

∴△ABD≌△EBD；
∴DE=AD，∠BED=∠A．
∵∠A=120°，
∴∠DEC=60°．
∵∠C=60°，
∴∠DEC=∠C．
∴DE=DC，
∴AD=DC．
（2）∵∠C=60°，DE=DC，
∴△DEC为等边三角形
∴EC=CD=AD．
∵AD=3，
∴EC=CD=3
∵AB=5，
∴BE=AB=5．
∴四边形ABCD的周长为19

点评：此题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等边三角形的判定与性质，结合图形，灵活解答．