Question

如图，海中有一小岛A，它周围20海里内有暗礁，一船跟踪鱼群由西向东航行，在B处测得小岛A在北偏东60°的方向上，航行30海里后到达C处，这时小岛A在北偏东30°的方向上，如果不改变航向，继续向东追踪鱼群，该小船有无触礁危险？请通过计算说明．

Answer 1

分析：过点A作AD⊥CB于点D，则直角△ACD和直角△ABD有公共边AD，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用AD表示出CD与BD，根据CB=BD-CD即可列方程，从而求得AD的长，与20海里比较，确定货轮继续向西航行，有无触礁危险．

解答：解：该渔船不改变航向继续前行，没有触礁危险
理由如下：
过A作AD⊥BC，如图所示．
则有∠ABD=30°，∠ACD=60°．
∴∠CAB=∠ABD，
∴BC=AC=30海里．
在Rt△ACD中，设CD=x海里，
则AC=2x，AD=

AC2-CD2

=

(2x)2-x2

=

3

x（海里）
在Rt△ABD中，AB=2AD=2

3

x海里，
BD=

AB2-AD2

=

(2 3 x)2-( 3 x)2

=3x（海里），
又∵BD=BC+CD，
∴3x=30+x，
∴x=15．
∴AD=

3

x=15

3

海里＞20海里，
∴该渔船不改变航向，继续前行，没有触礁危险．

点评：本题主要考查了三角形的计算，一般的三角形可以通过作高线转化为解直角三角形的计算，计算时首先计算直角三角形的公共边是常用的思路．