Question

如图，海中有一小岛P，在距小岛P的16

2

海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°，且A、P之间的距离为32海里，若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行，才能安全通过这一海域？

Answer 1

分析：过P作PB⊥AM于B，则PC的长是A沿AM方向距离P点的最短距离，求出PC长和16

2

比较即可，第二问设出航行方向，利用特殊角的三角函数值确定答案．

解答：解：过P作PB⊥AM于B，

在Rt△APB中，∵∠PAB=30°，
∴PB=

1

2

AP=

1

2

×32=16海里，
∵16＜16

2

，
故轮船有触礁危险．
为了安全，应该变航行方向，并且保证点P到航线的距离不小于暗礁的半径16

2

海里，即这个距离至少为16

2

海里，
设安全航向为AC，作PD⊥AC于点D，

由题意得，AP=32海里，PD=16

2

海里，
∵sin∠PAC=

PD

AP

=

16 2

32

=

2

2

，
∴在Rt△PAC中，∠PAC=45°，
∴∠BAC=∠PAC-∠PAB=45°-30°=15°．
答：轮船自A处开始至少沿东偏南15°度方向航行，才能安全通过这一海域．

点评：本题考查了解直角三角形的应用，关键是如何构造直角三角形并知道求哪一条线段的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．