Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F．

（1）求证：四边形AECF是矩形；

（2）连接OE，若AE＝12，AD＝13，则线段OE的长度是　 　．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）3．

【解析】

（1）根据菱形的性质得到AD∥BC，推出四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；

（2）根据已知条件得到得到CE＝18，根据勾股定理得到AC＝6，于是得到结论．

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∵CF∥AE，

∴四边形AECF是平行四边形．

∵AE⊥BC，

∴∠AEC＝90°，

∴平行四边形AECF是矩形；

（2）解：如图，连接OE，

∵AE＝12，AD＝13，

∴AB＝13，

∴BE＝5，

∵AB＝BC＝13，

∴CE＝18，

∴AC＝＝＝6，

∵对角线AC，BD交于点O，

∴AO＝CO＝3．

∴OE＝3，

故答案为：3．