Question

10．如图所示，将斜边长为10cm，较短直角边为5cm的直角三角形绕较长直角边长为轴旋转一周得到一个圆锥，当圆锥中的内接圆柱的底面半径为$\frac{5}{2}$cm时，圆柱的侧面积有最大值，最大值为$\frac{25\sqrt{3}π}{2}$cm²．

Answer 1

分析 设内接圆柱的底面半径为r，高为h，根据比例关系可用含r的式子表示h，再根据侧面积公式列出S关于r的函数解析式，根据二次函数性质可得其最值情况．

解答 解：由勾股定理可得直角三角形的另一条直角边为$\sqrt{1{0}^{2}-{5}^{2}}$=5$\sqrt{3}$，
设内接圆柱的底面半径为r，高为h，
由图可知，

$\frac{h}{5\sqrt{3}}$=$\frac{5-r}{5}$，
∴h=$\sqrt{3}$（5-r），
内接圆柱的侧面积S=2πr•h=2πr•$\sqrt{3}$（5-r）=-2$\sqrt{3}$π（r-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25\sqrt{3}π}{2}$，
∴当r=$\frac{5}{2}$cm时，圆柱的侧面积最大，最大面积为$\frac{25\sqrt{3}π}{2}$cm²，
故答案为：$\frac{5}{2}$，$\frac{25\sqrt{3}π}{2}$．

点评 本题主要考查二次函数的应用及圆柱侧面积的计算，根据比例式得出圆柱的高与底面半径的关系及熟练掌握函数性质是解题的关键．