Question

如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ=t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F。
（1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；
（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值。

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠D=90°，AD=AB
∵QE⊥AB，MF⊥BC
∴∠AEQ=∠MFB=90°
∴四边形ABFM、AEQD都是矩形
∴MF=AB，QE=AD，MF⊥QE
又∵PQ⊥MN
∴∠EQP=∠FMN
又∵∠QEP=∠MFN=90°
∴△PEQ≌△NFM；
（2）∵点P是边AB的中点，AB=2，DQ=AE=t
∴PA=1，PE=1-t，QE=2
由勾股定理，得PQ==
∵△PEQ≌△NFM
∴MN=PQ=
又∵PQ⊥MN
∴S===t²-t+
∵0≤t≤2
∴当t=1时，S=2，
综上：S=，S的最小值为2。