Question

如图，经过原点的抛物线y=-x²+2mx与x轴的另一个交点为A．点P在一次函数y=2x-2m的图象上，PH⊥x轴于H，直线AP交y轴于点C，点P的横坐标为1．（点C不与点O重合）
（1）如图1，当m=-1时，求点P的坐标．
（2）如图2，当0＜m＜

1

2

时，问m为何值时

CP

AP

=2？
（3）是否存在m，使

CP

AP

=2？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）如图1，当m=-1时，y=2x+2，
令x=1，则y=4，
∴点P的坐标为（1，4）；

（2）如图2，∵PH⊥x轴，∴PH∥OC，
∴△PAH∽△CAO，∴

PA

CA

=

AH

AO

，
∵

CP

AP

=2，∴

PA

CA

=

AH

AO

=1，∴OA=

1

2

．
令y=0，则-x²+2mx=0，
∴x₁=0，x₂=2m，
∴点A的坐标（2m，0），
∴2m=

1

2

，∴m=

1

4

；

（3）①当0＜m＜

1

2

时，由（2）得m=

1

4

，
∴y=2x-

1

2

，
令x=1，则y=

3

2

，
∴点P的坐标为（1，

3

2

）；
②如图3，当

1

2

≤m＜1时，
∵PH⊥x轴，∴PH∥OC，
∴△APH∽△ACO，∴

PA

CA

=

AH

AO

，
∵

CP

AP

=2，∴

AH

AO

=

1

3

，∴OH=

2

3

OA，
∵OH=1，∴OA=

3

2

，
∴2m=

3

2

，m=

3

4

，
∴y=2x-

3

2

，
令x=1，则y=

1

2

，
∴点P的坐标为（1，

1

2

）；
③如图4，当m≥1时，
∵PH⊥x轴，∴PH∥OC，
∴△APH∽△ACO，∴

PA

CA

=

AH

AO

，
∵

CP

AP

=2，∴

AH

AO

=

1

3

，∴OH=

2

3

OA，
∵OH=1，∴OA=

3

2

，
∴2m=

3

2

，m=

3

4

，
∵m＞1，∴m=

3

4

舍去；
④如图5，当m≤0时，
∵PH⊥x轴，∴PH∥OC，
∴△APH∽△ACO，∴

PA

CA

=

AH

AO

，
∵

CP

AP

=2，∴CP＞AP，
又∵CP＜AP，
∴m的值不存在．