Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式y=-x+2并且线段CM的长为2

2

．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线与x轴有两个交点A（x₁，0）、B（x₂，0），且点A在B的左侧，求线段AB的长；
（3）若以AB为直径作⊙N，请你判断直线CM与⊙N的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）解法一：
由已知，直线CM：y=-x+2与y轴交于点C（0，2）
抛物线y=ax²+bx+c过点C（0，2），
所以c=2，抛物线y=ax²+bx+c的顶点M（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）在直线CM上，
所以

4a×2-b2

4a

=

b

2a

+2，
解得b=0或b=-2（2分）
若b=0，点C、M重合，不合题意，舍去，
所以b=-2．即M（

1

a

，2-

1

a

）
过M点作y轴的垂线，垂足为Q，
在Rt△CMQ中，CM²=CQ²+QM²
所以，8=（

1

a

）²+[2-（2-

1

a

）]²，
解得，a=±

1

2

．
∴所求抛物线为：y=-

1

2

x²-2x+2或y=

1

2

x²-2x+2（4分）
以下同下．
解法二：由题意得C（0，2），
设点M的坐标为M（x，y）
∵点M在直线y=-x+2上，
∴y=-x+2
由勾股定理得CM=

x2+(y-2)2

，
∵CM=2

2

，即x²+（y-2）²=8
解方程组

y=-x+2 x2+(y-2)2=8

得

x1=-2 y1=42

，

x2=2 y2=0

（2分）
∴M（-2，4）或M‘（2，0）
当M（-2，4）时，
设抛物线解析式为y=a（x+2）²+4，
∵抛物线过（0，2）点，
∴a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

x²-2x+2（3分）
当M′（2，0）时，
设抛物线解析式为y=a（x-2）²
∵抛物线过（0，2）点，
∴a=

1

2

，
∴y=-

1

2

x²-2x+2
∴所求抛物线为：y=-

1

2

x²-2x+2或y=

1

2

x²-2x+2（4分）；

（2）∵抛物线与x轴有两个交点，
∴y=

1

2

x²-2x+2不合题意，舍去．
∴抛物线应为：y=-

1

2

x²-2x+2（6分）
抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧，
∴y=-

1

2

x²-2x+2=0，
得AB=|x₁-x₂|=

4-4×(- 1 2 )×2

1 2

=4

2

；（8分）
（3）∵AB是⊙N的直径，
∴r=2

2

，N（-2，0），
又∵M（-2，4），
∴MN=4
设直线y=-x+2与x轴交于点D，则D（2，0），
∴DN=4，可得MN=DN，
∴∠MDN=45°，作NG⊥CM于G，在Rt△NGD中，
NG=DN•sin45°=2

2

=r（10分）
即圆心到直线CM的距离等于⊙N的半径
∴直线CM与⊙N相切（12分）．