Question

10．如图，已知△ABC内接于⊙O，P是圆外一点，PA为⊙O的切线，且PA=PB，连接OP，线段AB与线段OP相交于点D．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若tan∠BCA=$\frac{4}{3}$，⊙O的半径为10，求线段PD的长．

Answer 1

分析 （1）要证PB为⊙O的切线PB为⊙O的切线，只要证明△OAP≌△OBP即可，根据题目中的条件可以证明该结论成立；
（2）根据同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，由tan∠BCA=$\frac{4}{3}$，⊙O的半径为10，可以得到OP和OD的长，从而可以解答本题．

解答 （1）证明：连接OA、OB，如右图所示，
∵PA=PB，OA=OB，OP=OP，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP=∠OBP，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∴∠OBP=90°，
∴PB为⊙O的切线；
（2）解：∵△OAP≌△OBP，
∴∠AOP=∠BOP，
又∵∠AOB=2∠BCA=∠AOP+∠BOP，
∴∠BCA=∠AOP，
∵tan∠BCA=$\frac{4}{3}$，⊙O的半径为10，
∴tan∠AOP=$\frac{4}{3}$，OA=10，
∴AP=OA•tan∠AOP=10×$\frac{4}{3}$=$\frac{40}{3}$，OD=6，
∴OP=$\frac{50}{3}$，
∴PD=OP-OD=$\frac{32}{3}$．

点评 本题考查切线的性质、三角形的外接圆与外心、解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．