Question

已知△ABC，点E在直线AB上，点D在直线AC上，且BD=AE，过点E作EG∥BC交直线BD于点G，交直线AC于点F，且BG=AB，∠ABG=60°．
（1）当点D在线段AC上时如图①，求证：EG=BC+DF；
（2）当点D在线段AC延长线上时，如图②；当点D在线段CA延长线上时，如图③，请分别写出线段EG、BC、DF之间的数量关系，不需要证明．
（3）若∠BAC=30°，AB=3

3

，则DF=

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）在AC上找到H点使得BH=BC，连接AG，易证△ABG为等边三角形，根据等边三角形性质可证明△ABD≌△GAE，可得EG=AD，再根据△BCH为等边三角形，即可证明△ABH≌△GAF，可得AF=BC，即可解题；
（2）①延长DA至H使得BH=BD，连接AG，根据△ABG是等边三角形可证明△DBA≌△EAG，可得AD=EG，∠DAB=∠AGE，再证明△CBH≌△FAE，可得BC=AF，即可解题；
②连接AG，根据△ABG是等边三角形，可证明△DBA≌△EAG，可得AD=EG，∠DAB=∠AGE，即可证明△DCB∽△DGA和△EAF∽△AGE，根据相似三角形对应边比例相等可得AF=BC，即可解题；
（3）根据∠BAC=30°画出图形，易证∠D=30°，可得BD=2AC，再根据AF=BC，即可求得DF的长，即可解题．

解答：（1）证明：在AC上找到H点使得BH=BC，连接AG，

∵AB=BG，∠ABD=60°，
∴△ABG为等边三角形，
∴∠BAG=60°，AG=AB，
在△ABD和△GAE中，

BD=AE ∠ABD=∠EAG=60° AB=AG

，
∴△ABD≌△GAE，（SAS）
∴∠AGE=∠BAD，EG=AD，∠AEG=∠ADB，
∵∠AEG+∠AFE+∠EAF=180°，∠ADB+∠ABD+∠EAF=180°，
∴∠AFE=∠ABD=60°，
∵EG∥BC，
∴∠C=60°，
∵BH=BC，
∴△BCH为等边三角形，
∴BH=BC，∠AHB=120°，
在△ABH和△GAF中，

∠AFG=∠BHA ∠AGE=∠BAD AG=AB

，
∴△ABH≌△GAF，（AAS）
∴AF=BH，
∴AF=BC，
∵AD=AF+DF，
∴EG=BC+DF；
（2）证明：①延长DA至H使得BH=BD，连接AG，

∵BH=BD，
∴∠H=∠D，AE=BH，
∵∠ABG=60°，BG=AB，
∴△ABG是等边三角形，
∴AB=AG，∠ABG=∠BAG=60°，
在△BDA和△AEG中，

AB=AG ∠ABG=∠BAG BD=AE

，
∴△BDA≌△AEG（SAS），
∴EG=AD，∠E=∠D，
∴∠H=∠D，
∵BC∥EF，
∴∠BCA=∠EFC，
在△CBH和△FAE中，

∠BCA=∠EFC ∠E=∠H AE=BH

，
∴△CBH≌△FAE（AAS），
∴BC=AF，
∵AD=AF+DF，
∴EG=BC+DF；
②连接AG，

∵∠ABG=60°，BG=AB，
∴△ABG是等边三角形，
∴AB=AG，∠ABG=∠BAG=60°，
∴∠DBA=∠EAG=120°，
在△DBA和△EAG中，

AB=AG ∠DBA=∠EAG BD=AE

，
∴△DBA≌△EAG，（SAS）
∴AD=EG，∠DAB=∠AGE，
∵∠CBA=∠E，∠E+∠AGE=60°，
∴∠DCB=∠CBA+∠DAB=∠E+∠AGE=∠BAG=60°，
∴△DCB∽△DGA，
∴

BC

AG

=

BD

AD

，
∵∠EAF=∠DAB，∠DAB=∠AGE，
∴∠EAF=∠AGE，
∴△EAF∽△AGE，
∴

AF

AG

=

AE

EG

，
∵BD=AE，AD=EG，
∴

BC

AG

=

AF

AG

，
∴AF=BC，
∵DF=AF+AD，
∴DF=BC+EG；
（3）解：根据∠BAC=30°画出图形，

∵∠AGE=∠BAC，∠BAC+∠D=60°，
∴∠CGF=90°，∠D=30°，
∵BC∥GF，∴∠CBD=60°，
∴∠ACB=30°，
∴BC=AC，BD=2BC=2AC，
∵AF=BC，
∴DF=AD+AF=AB+BD+AF=4AB=12

3

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，考查了相似三角形的判定和相似三角形对应边比例相等的性质，本题中求证△DBA≌△EAG是解题的关键．