Question

如图，已知点A（2，5）和点B（8，2）．反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象与线段AB有公共点，则k的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先利用待定系数法确定直线AB的解析式为y=-

1

2

x+6，根据题意方程组

y=- 1 2 x+6 y= k x

有解，即x²-12x+2k=0，△=12×12-8k≥0，解得k≤18，由于反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象与线段AB有公共点，易得k的取值范围为10≤k≤18．

解答：解：设直线AB的解析式为y=ax+b，
把点A（2，5）和点B（8，2）代入得

2a+b=5 8a+b=2

，
解得

a=- 1 2 b=6

，
所以直线AB的解析式为y=-

1

2

x+6，
∵反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象与线段AB有公共点，
∴方程组

y=- 1 2 x+6 y= k x

有解，
∴-x²+12x=2k，即x²-12x+2k=0，△=12×12-8k≥0，
解得k≤18，
∵2≤x≤8，
∴当x=2时，k=2×10=10，
当x=8时，k=8×2=16，
∴k的取值范围为10≤k≤18．
故答案为10≤k≤18．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式和方程组的解的问题．