Question

如图a，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=a，CD=b，点E、F分别是两腰AD、BC上的点，且EF∥AB，设EF到CD、AB的距离分别为d₁、d₂，某同学在对这一图形进行研究时，发现如下事实：
①当

d1

d2

=

1

1

时，有EF=

a+b

2

；
当

d1

d2

=

1

2

时，有EF=

a+2b

3

；
当

d1

d2

=

1

3

时，有EF=

a+3b

4

；
当

d1

d2

=

1

4

时，有EF=

a+4b

5

；
②当

d1

d2

=

2

1

时，有EF=

2a+b

3

；当

d1

d2

=

3

1

时，有EF=

3a+b

4

；
当

d1

d2

=

4

1

时，有EF=

4a+b

5

；当

d1

d2

=

5

1

时，有EF=

5a+b

6

．
根据以上结论，解答下列问题：
（1）猜想当

d1

d2

=

1

n

和

d1

d2

=

m

1

时，分别能得到什么结论（其中m、n均为正整数）？
（2）进一步猜想当

d1

d2

=

m

n

时，有何结论（其中m、n均为正整数）？并证明你的结论；
（3）如图b，有一块梯形耕地ABCD，AB∥CD，CD=100米，AB=300米，AD=500米，在AD上取两点E、F，使DE=200米，EF=150米，分别从E、F两处为起点开挖两条平行于两底的水渠，直到另一腰，求这两条水渠的总长度．

Answer 1

（1）当

d1

d2

=

1

n

时，EF=

a+nb

n+1

；
当

d1

d2

=

m

1

时，EF=

ma+b

m+1

．

（2）当

d1

d2

=

m

n

时，EF=

ma+nb

m+n

．
证明：延长AD、BC交于G，设△DCG在BC边上的高为h，则由三角形相似得：

b EF = h h+m b a = h h+m+n

从上述关于h，EF的方程组中易求得EF=

ma+nb

m+n

．

（3）由于过点E平行于两底的水渠到两底的距离比等于2：3，由（2）中的结论可得：
水渠长=

2BC+3AD

2+3

=180（米）
由于过点F平行于两底的水渠到两底的距离比等于7：3，由（2）中的结论可得：
水渠长=

7BC+3AD

7+3

=240（米）
故两条水渠的总长度是180+240=420（米）．