题目内容
（2012•路南区一模）如图，已知函数y=
，点P为第一象限分支上一动点，以P为圆心1为半径画圆，当
⊙P和x轴相切时，抛物线y=ax2+bx（a＞0，b＜0）与y=
的图象交于点P，与x轴交于A点．根据所给条件，解答下列问题：
（1）关于x的方程ax2+bx-
=0的解为
（2）如果抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=1，求抛物线的解析式以及A点坐标；
（3）直接回答a的值能否为
．
| 3 |
| x |
⊙P和x轴相切时，抛物线y=ax2+bx（a＞0，b＜0）与y=| 3 |
| x |
（1）关于x的方程ax2+bx-
| 3 |
| x |
x=3
x=3
；（2）如果抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=1，求抛物线的解析式以及A点坐标；
（3）直接回答a的值能否为
| 1 |
| 10 |
分析：（1）根据⊙P和x轴相切可知点P的纵坐标是1，代入抛物线解析式求出x的值，即可得到点P的坐标，然后根据方程的解即为点P的横坐标解答；
（2）根据对称轴解析式与点A的坐标得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，即可得到抛物线解析式，然后令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到点A的坐标；
（3）把点P的坐标代入抛物线，然后用b表示出a，再根据b＜0判断出a的取值范围，即可进行判断．
（2）根据对称轴解析式与点A的坐标得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，即可得到抛物线解析式，然后令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到点A的坐标；
（3）把点P的坐标代入抛物线，然后用b表示出a，再根据b＜0判断出a的取值范围，即可进行判断．
解答：解：（1）∵⊙P和x轴相切时，⊙P的半径为1，
∴点P的纵坐标为1，
当y=1时，
=1，
解得x=3，
所以，点P的坐标是（3，1），
所以，方程的解是x=3；
（2）由（1）可知，点P（3，1），
又∵抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=1，
∴
，
解得
所以，抛物线的解析式为y=
x2-
x，
令
x2-
x=0，
解得x1=0，x2=2，
所以，点A（2，0）；
（3）∵点P（3，1）在抛物线上，
∴9a+3b=1，
a=
，
∵b＜0，
∴-b＞0，
∴1-3b＞1，
∴a＞
，
∵
＜
，
∴a的值不能为
．
∴点P的纵坐标为1，
当y=1时，
| 3 |
| x |
解得x=3，
所以，点P的坐标是（3，1），
所以，方程的解是x=3；
（2）由（1）可知，点P（3，1），
又∵抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=1，
∴
|
解得
|
所以，抛物线的解析式为y=
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
令
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
解得x1=0，x2=2，
所以，点A（2，0）；
（3）∵点P（3，1）在抛物线上，
∴9a+3b=1，
a=
| 1-3b |
| 9 |
∵b＜0，
∴-b＞0，
∴1-3b＞1，
∴a＞
| 1 |
| 9 |
∵
| 1 |
| 10 |
| 1 |
| 9 |
∴a的值不能为
| 1 |
| 10 |
点评：本题是二次函数综合题型，主要涉及直线与圆相切，利用图象的交点求方程的解，待定系数法求二次函数解析式，以及抛物线与x轴的交点问题，都是基本应用，难度不大．
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