Question

如图，A（10，0），B（6，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB，∠CDA=90°，点P从点Q（-8，0）出发，沿x轴向右以每秒2个单位的速度运动，运动时间为t秒．
（1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP=15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在直线）相切时，求t的值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）由A，B的坐标及∠CBO=45°可得出点C的坐标为（0，6）；
（2）分为两种情况：①当P在点B的左侧时，②当P在点B的右侧时，分别求出t的值，
（3）本小题分三种情况讨论：①当PC⊥BC时，⊙P与BC相切；②当PC⊥CD时，⊙P与CD相切；③当PA⊥AD时，⊙P与AD相切；分别求出各种情况的t的值．

解答：解：（1）∵A（10，0），B（6，0），
∴OA=10，OB=6，
∵∠CBO=45°，
∴OC=OB=6，
∴点C的坐标（0，6）；
（2）①当P在点B的左侧时，
∵∠CBO=45°，∠BCP=15°
∴∠OCP=∠OCB-∠BCP=45°-15°=30°，
∵CO=6，
∴OP=

3

3

CO=2

3

，
∵Q（-8，0），
∴QP=2

3

+8，
∵点P沿x轴向右以每秒2个单位的速度运动，
∴t=

3

+4，
②当P在点B的右侧时，
∵∠CBO=45°，∠BCP=15°
∴∠OCP=∠OCB+∠BCP=45°+15°=60°，
∵CO=6，
∴OP=

3

CO=6

3

，
∵Q（-8，0），
∴QP=6

3

+8，
∵点P沿x轴向右以每秒2个单位的速度运动，
∴t=3

3

+4，
综上所述当∠BCP=15°时，t的值为

3

+4或3

3

+4．
（3）①如图1，当PC⊥BC时，⊙P与BC相切，

∵∠CBO=45°，
∴∠CPB=45°，CP=BC，
∵CO=6，
∴PO=6，
∴QP=QO-PO=8-6=2，
∵点P从点Q（-8，0）出发，沿x轴向右以每秒2个单位的速度运动，
∴t=1（秒），
②如图2，当PC⊥CD时，⊙P与CD相切，

∵QO=8，点P从点Q（-8，0）出发，沿x轴向右以每秒2个单位的速度运动，
∴t=8÷2=4（秒）
③如图3，当PA⊥AD时，⊙P与AD相切，设PA=r

∵OA=10，OC=6，
∴OP²+OC²=PC²，即（10-r）²+6²=r²，解得r=

34

5

，
∴QP=8+10-

34

5

=

56

5

，
∵点P从点Q（-8，0）出发，沿x轴向右以每秒2个单位的速度运动，
∴t=

28

5

，
综上所述t₁=1秒，t₂=4秒，t₃=

28

5

秒．

点评：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是分类讨论当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在直线）相切的三种情况．